Bài 1: Cho f và g là 2 đa thức bậc dương trong k[x,y],ở đó k là một trường sao cho f và g không có ước chung bậc dương. Chứng minh rằng giao của 2 đường cong f=0 và g=0 trong là một tập hữu hạn
Bài này khá thú vị vì với vành đa thức với số biến lớn hơn 2 bài toán không còn đúng nữa. Với vành đa thức 3 biến có kết quả tương tự nhưng trong không gian xạ ảnh và đó chính là định lí Bezout nổi tiếng
Vì f và g là nguyên tố cùng nhau trong k[x,y]=k[x][y] nên cũng nguyên tố cùng nhau trong k(x)[y]. Do đó có các đa thức A(x),B(x), P(x) và Q(x) sao cho ;
Mọi nghiệm (a;b) của hệ f=0 và g=0 đều là nghiệm của H(x). Vì thế số các giá trị a để (a;b) là nghiệm của hệ là hữu hạn. Tương tự xét trong k(y)[x] thì số các giá trị b cũng hữu hạn. Thế là OK
Sao bác đã bắn ngay đến cái này rồi à?
Bài 1: Cho f và g là 2 đa thức bậc dương trong k[x,y],ở đó k là một trường sao cho f và g không có ước chung bậc dương. Chứng minh rằng giao của 2 đường cong f=0 và g=0 trong
là một tập hữu hạn
Sai rồi,h sao lại thuộc k[x]? và cái giả thiết f và g ko có ước chung bậc dương bác ko sử dụng thì ko giải được đâu
Vì f và g là nguyên tố cùng nhau trong k[x,y]=k[x][y] nên cũng nguyên tố cùng nhau trong k(x)[y]. Do đó có các đa thức A(x),B(x), P(x) và Q(x) sao cho
;
Mọi nghiệm (a;b) của hệ f=0 và g=0 đều là nghiệm của H(x). Vì thế số các giá trị a để (a;b) là nghiệm của hệ là hữu hạn. Tương tự xét trong k(y)[x] thì số các giá trị b cũng hữu hạn. Thế là OK