Cho vành là mở rộng nguyên của vành là hai ideal nguyên tố của là ideal nguyên tố của với .

CMR:

Ta luôn có 1 ideal nguyên tố của là  sao cho

Mãi không thấy ai chịu giải bài này. Tôi thử xem sao

1) Cho A là mở rông nguyên của C và J là idean trong C. Khi đó mọi phần tử  đều thoả mãn một quan hệ nguyên dạng

  ,trong đó

Thật vậy ,ta có . đặt  thì do  nguyên trên  nên là modun hữu hạn sinh. Gọi  là hệ sinh của  trên . Rõ ràng  nên . Từ đó  là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số là với  . Suy ra  . Vì  là tổ hợp tuyến tính của các  nên . Khai triển định thức ta có điều phải chứng minh

2) Nếu  là mở rộng nguyên của  và  là một idean nguyên tố của  thì tồn tại idean nguyên tố của  sao cho . 

Ta thấy   là một idean của  và . Thật thế  thì  nên theo 1) ta có , suy ra . Bao hàm thức ngược ại là hiển nhiên

  Xét tập  gồm tất cả các idean của mà . Thế thì vì nó chứa . Nếu  là dãy tăng các idean trong  thì cũng là idean của . Vì thế theo bổ đề Zorn  có phần tử cực đại

Gọi  là phần tử cực đại của  thì    . Ta cần chứng minh  là nguyên tố.

Giả sử  mà  và thì  và . Suy ra  và   . Tồn tại  và . Rõ ràng . Nhưng   ,ở đó  nên và  . Mâu thuẫn. Vậy  là idean nguyên tố

3)Áp dụng vào  định lí

Từ giả thiết ta có  và  là các miền nguyên và  là mở rộng nguyên của  . Áp dụng 2) thì tồn tại idean nguyên tố  của sao cho

. Mặt khác . Từ đó